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Nesse artigo, vamos esclarecer muitas coisas sobre um tema muito conhecido em finanças: Otimização de Markovitz e Fronteira Eficiente. E vamos aprender como implementar esse tema no Excel.

 

INTRODUÇÃO

 

Eu noto que quando alguns alunos aprendem sobre otimização de Portfólio de Markovitz, normalmente via um professor sem qualquer experiencia prática, ficam muito encantados, achando que descobriram um modelo revolucionário.

Portfólio de Markovitz faz parte de um conceito que se chama teoria moderna de Portfólio, mas não é tão moderna assim, pois foi construída em 1952

Particularmente, acho difícil ser 100% usada na prática. No entanto, não tiro o seu valor, pois considero que traz reflexões importantes, como risco/retorno e diversificação.

Então, vamos entender o modelo, como construí-lo no Excel e quais suas limitações.

Nesse post, para começar, vamos tratar o caso com dois ativos apenas.

Eu vou tentar explicar da maneira mais simples possível.

No entanto, você precisa saber conceitos importantes antes: volatilidade e matemática de Portfólio. E já falamos nesse post aqui.

 

RISCO/RETORNO

 

Dado o retorno esperado e o risco (volatilidade) desses 4 ativos…

 

 

Entre o Ativo A e B, qual você escolheria?

E entre o Ativo C e D?

Se você fosse investidor racional, teria escolhido o ativo B e o ativo D.

O Ativo A e B tem o mesmo risco, mas o retorno esperado do ativo B é maior.

Mesma coisa para o C e D. Mesmo risco, mas o D possui maior retorno esperado.

E entre o ativo B e C?

Se você continuasse com a mesma racionalidade, escolheria o B.

Ambos têm o mesmo retorno esperado. No entanto, o ativo B tem menor risco.

Daí, vamos assumir, daqui para frente, que o investidor siga com essa racionalidade:

• Dado um Risco, o investidor vai escolher o maior Retorno
• Dado um Retorno, o investidor vai escolher o menor Risco

Mas, agora, e entre o ativo B e D?

Aí vai depender do perfil do investidor, se ele está disposto a correr mais risco em troca de retorno maior.

 

Escolha do melhor Portfólio

 

É fundamental agora a gente entender o conceito de fronteira eficiente.

Vai ficar muito mais fácil de entender, começando com um portfólio com duas opções de ativos:

 

 

Lembrando que um portfólio é montado se colocando pesos nos ativos. Por exemplo, o Ativo A tem 60% do total e o ativo B 40%.

Por enquanto, vamos considerar que não podemos fazer Short Sell. Dessa forma, o peso de cada ativo vai variar de 0 a 100%.

Agora, vamos supor que você queira construir um portfólio com volatilidade de 10%.

Dentre todas as combinações possíveis de pesos que consigo fazer com esses dois ativos, duas delas têm a volatilidade igual a 10%.

Portfólio 1 – 100% no Ativo A e 0% no Ativo B

Portfólio 2 – 23% no Ativo A e 77% no Ativo B

Se você não entendeu por que o Portfólio 2 tem a volatilidade, de 10%, veja novamente esse post sobre matemática de portfólio. Esse post vai te dar toda a base de como calcular a volatilidade e retorno esperado de um portfólio.

Agora, quais desses dois portfólios você escolheria? Lembrando que ambos tem a volatilidade de 10%.

Se fizer as contas de retorno esperado do Portfólio, chegaria em 6% para o Portfólio 1 e 8,3% para o Portfólio 2.

Então, seguindo a lógica da racionalidade, você escolheria o Portfólio 2, mesmo risco com maior retorno.

 

A carteira de mínima variância e a fronteira eficiente

 

 

Como são dois ativos, é facil plotar essa curva mostra que mostra o Risco/Retorno de todas as combinações possíveis entre eles. Note o caso do Portfólio 1 e 2.

 

 

Como fiz esse gráfico?

Como são dois ativos apenas, é bem simples. O que preciso, é criar todas as combinações de Portfólio possíveis.

É claro que não crio todas, pois são infinitas. Por exemplo, Ativo A com 50,05% e Ativo B com 49,95% ou Ativo A com 50,04% e Ativo B com 49,96%.

Eu começo 100% no ativo A e 0% no ativo B. E vou tirando 0,5% do ativo A e colocando no ativo B.

Aí é só fazer as contas de volatilidade e retorno esperado para cada combinação.

No final tem uma planilha para Download com essas contas.

Agora, aparece o primeiro nome conhecido nessa teoria, o Portfólio de Mínima Variância, ou ingles, MVP (minimum variance portfolio)

Dado os ativos disponíveis, esse seria o Portfólio com a menor variância (risco) que você conseguiria formar com uma combinação entre eles.

Note também a linha pontilhada…

São portfólios igual ao Portfólio 1, ou seja, para aquela volatilidade, existe um portfólio melhor (maior retorno esperado)

E aí que aparece o nome de fronteira eficiente…

Considerando os ativos disponíveis, a fronteira eficiente são os portfólios que, dado um risco, não existe nenhum portfólio com maior retorno.

Ou interpretando de outra forma…

Dado um retorno, não existe um portfólio com risco menor.

 

SHORT SELL

 

Se adicionarmos a possibilidade de venda a descoberto (short sell), não mudaria a teoria.

No entanto, mudaria a fronteira eficiente, pois haveria mais opções de portfólio.

Lembrando que com o short sell, você venderia a ação sem ter a ação. Como vendeu, você irá receber o dinheiro da venda. E com esse dinheiro, poderia comprar mais da outra ação.

Logo, existe um caso, por exemplo, que você está -50% vendido na Ação A e +150% comprado na ação B.

Se parar para pensar, com essa possibilidade, estamos aumentando o retorno esperado possível. Pois estaríamos vendendo o ativo com pior retorno esperado, para comprar ainda mais do ativo com o melhor retorno esperado.

É importante ressaltar que, nesse exemplo, não estamos considerando nenhum custo na operação, como custo de aluguel ou a margem necessária para fazer a operação a descoberto.

 

Planilha para Download